Una representación de los números reales en forma de grafos

Resumen: El árbol de Farey es una sencilla estructura capaz de generar todos los números racionales del intervalo [0,1]. Apoyándonos en él, construiremos a través de un proceso de crecimiento, una representación de los números racionales en forma de grafos, donde los racionales serán grafos finitos y los irracionales grafos infinitos.

Armados con un operador de renormalización extremadamente sencillo, seremos capaces de distinguir los irracionales cuadráticos, que formarán ciclos donde aparecen los números nobles, del resto. Analizaremos la entropía de estos grafos y veremos su relación con el flujo de renormalización, descubriendo que el número áureo, conocido como el más irracional de los irracionales, es también el más entrópico.

Este trabajo inacabado, que estamos desarrolando en este momento, pretende encontrar una constante matemática semejante a la constante de Khinchin en la distribución de conectividades de los grafos asociados a los irracionales. Así que todo comentario, crítica o idea serán bienvenidos.